Fredholm boundary-value problems for linear delay systems defined by pairwise permutable matrices

Abstract

The paper deals with a Fredholm boundary value problem for a linear delay system with several delays defined by pairwise permutable constant matrices. The initial value condition is given on a finite interval and the boundary condition is given by a linear vector functional. A sufficient condition for the existence of solutions of this type of boundary value problem is proved. Moreover, a family of linearly independent solutions in an explicit general analytic form is constructed under the assumption that the number of boundary conditions (determined by the dimension of linear vector functional) do not coincide with the number of unknowns of the system of the delay differential equations. The proof of this result is based on a representation of solutions by using the so-called multi-delayed matrix exponential and a method of a pseudo-inverse matrix of the Moore-Penrose type.

У статті розглядаються фредгольмові крайові задачі для лінійної диференціальної системи з декількома загаюваннями, коефіцієнти якої – попарно комутуючі сталі матриці. Задача розглядається на скінченному відрізку, гранична умова задається лінійним векторним функціоналом. Доведено достатню умову існування розв'язків для цих крайових задач. Крім того, побудовано сімейство лінійно незалежних розв'язків в явному загальному аналітичному вигляді в припущенні, що кількість граничних умов (визначається розмірністю вектора лінійного функціоналу) не збігається з кількістю невідомих диференціальної системи з загаюваннями. Доведення цього результату базується на представленні розв'язків з використанням, так званого, мультизагаюваного матричного експоненціалу та псевдо-оберненої матриці типу Мура-Пенроуза.

В статье рассматриваются Фредгольмовые краевые задачи для линейной дифференциальной системы с несколькими задержками, коэффициенты которой – попарно коммутирующие постоянные матрицы. Задача рассматривается на конечном отрезке, граничное условие задается линейным векторным функционалом. Доказано достаточное условие существования решений для этих краевых задач. Кроме того, построено семейство линейно независимых решений в явном общем аналитическом виде в предположении, что количество граничных условий (определяется размерностью вектора линейного функционала) не совпадает с количеством неизвестных дифференциальной системы с задержками. Доказательство этого результата базируется на представлении решений с использованием, так называемого, мультизадерживающего матричного експоненциала и псевдообратной матрицы типа Мура-Пенроуза.