Фрактали і тензори в наукових дослідженнях

Abstract

Серйозною перешкодою у вивченні сучасних досягнень в області прикладних інженерних досліджень є недостатня математична підготовка випускників вищих навчальних закладів, і особливо – в розділах нелінійних диференційних рівнянь, статистичного моделювання, перетворення лінійних просторів, векторного і тензорного аналізу. З даних розділів у магістрантів, як правило – фрагментарні знання. В той же час аналіз напружено-деформованого стану, кінематики і динаміки руху твердого тіла в просторі, електротермічні, електромеханічні ефекти, п’єзо- та піроелектричний ефекти, кінематика сучасних роботів, так як і створення нових матеріалів (особливо - пористих) для забезпечення потреб машинобудування, будівельної індустрії, мікробіології, медицини тощо неможливе без елементарних знань тензорного аналізу та уявлень про фрактали. Дана робота присвячена вивченню інтегральних та локальних польових характеристик мікро неоднорідних середовищ з позиції фракталів та тензорного аналізу. Особливо актуальна ця задача, коли до традиційних вимог міцності, тріщиностійкості, довговічності, стійкості проти зношування, корозії добавляється низка нових вимог, і перш за все – це формування пористості заданої структури. Посібник розрахований на магістрантів інженерних спеціальностей ВНЗ та може бути корисним інженерам і науковцям, що вивчають суміжні проблеми.

An inadequate mathematical training of graduates of higher education institutions, and especially in sections of nonlinear differential equations, statistical simulation, transformation of linear spaces, vector and tensor analysis, is a serious obstacle in the study of modern achievements in the field of applied engineering research. Of these sections, masters, as a rule, are fragmentary knowledge. At the same time, the analysis of the stress-strain state, kinematics and dynamics of the motion of a solid in space, electrothermal, electromechanical effects, piezoelectric and pyroelectric effects, kinematics of modern robots, as well as the creation of new materials (especially porous ones) to meet the needs mechanical engineering, construction industry, microbiology, medicine, etc., is impossible without elementary knowledge of tensor analysis and representations of fractals. This paper is devoted to the study of integral and local field characteristics of micro heterogeneous media from the standpoint of fractals and tensor analysis. This problem is especially important when a number of new requirements are added to traditional requirements of durability, fatigue resistance, durability, resistance to wear, corrosion, and above all – the formation of porosity of a given structure. The manual is intended for undergraduates of engineering specialties of higher educational institutions and can be useful for engineers and scientists who are studying related problems.

Серьезным препятствием в изучении современных достижений в области прикладных инженерных исследований является недостаточная математическая подготовка выпускников высших учебных заведений, и особенно – в разделах нелинейных дифференциальных уравнений, статистического моделирования, преобразования линейных пространств, векторного и тензорного анализа. Из данных разделов у магистрантов, как правило – фрагментарные знания. В то же время анализ напряженно-деформированного состояния, кинематики и динамики движения твердого тела в пространстве, электротермические, электромеханические эффекты, пьезо- и пироэлектрический эффекты, кинематика современных роботов, как и создание новых материалов (особенно – пористых) для обеспечения потребностей машиностроения, строительной индустрии, микробиологии, медицины и т.д. не возможно без элементарных знаний тензорного анализа и представлений о фракталах. Данная работа посвящена изучению интегральных и локальных полевых характеристик микро неоднородных сред с позиции фракталов и тензорного анализа. Особенно актуальна эта задача, когда к традиционным требований прочности, трещиностойкости, долговечности, устойчивости к износу, коррозии добавляется ряд новых требований и прежде всего – это формирование пористости заданной структуры. Пособие рассчитано на магистрантов инженерных специальностей вузов и может быть полезным инженерам и ученым, изучающим смежные проблемы.